在数学的领域分有纯数学﹙pure mathematics﹚与应用数学﹙applie mathematics﹚。数学家本身研究纯数学，就是研究数学本身的实质性内容，不以任何实际应用为出发。然而，研究以纯数学为开端的领域，过程中也发现应用之处，于是数学被广泛使用在不同的领域中，包括科学、工程、医学、经济和金融等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新纯数学学科的发展。

纯数学让人感觉比较抽象，研究它的目的不是为了某项应用，而是为了数学本身的推进，或者单纯的好奇心和"美感"。研究结果的价值判断在于它对于数学这个学科本身是否重要，论证结果本身是否优美，以及证明中有多少原创和巧妙的思路，亦即前述所说的"美感"。

纯数学大致再可区分为算术﹙arithmetic﹚、代数﹙algebra﹚、几何﹙geometry﹚及数学分析﹙mathematical analysis﹚的次领域，分别对应于研究数量、结构、空间及变化。

算术研究数的性质及其运算，简单来说就是整数，及加减乘除运算，复杂如指数、平方根、复数、圆周率π、自然指数e、质数等。代数的研究对象不仅是数字，还有各种抽象化的结构，譬如群、环、域、模、线性空间，也包括失量及矩阵等。

另外，在算术与代数分支中，还有一个被誉为"最纯"的数学领域，那就是数论﹙number theory﹚。数论专注于研究数字中，"所有数"的特征，比如单单是质数的性质就产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想、孪生质数猜想等，也包括科普书常提到的黎曼猜想、费马猜想等数学难题。组合数学﹙combinatorics﹚是指组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等，广义来说还包括离散数学﹙iscrete mathematics﹚。

几何主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间关系，从最初期的长度、面积、体积，及三角函数知识，演进到拓扑学及微分几何等，也应用在艺术、建筑、物理，和天文等领域。拓扑学﹙topology﹚主要是研究空间内连续变化中，保持不变的性质。最典型拓扑学研究对象便是na的双螺旋结构，最有名的一个例子就是，在拓扑学的概念中，马克杯跟甜甜圈是一样的。微分几何则是运用微积分的理论，研究空间的几何性质的数学分支学科，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

数学分析是了解及描述"变化"，而微积分更为研究变化的有利工具，也包含向量微积分、微分方程式、动力系统、混沌理论、复分析等次领域。微分方程式﹙ifferential equation﹚是一种数学方程式，大量应用在物理、化学、工程学、经济学等，用来描述某一类函数与其导数之间的关系。然而，对于现今大多是复杂的微分方程而无法求得解析解时，可用数值分析的方式，利用计算机来寻求其数值解。

应用数学则截然不同，它的研究动机就是为了解决实际的问题，譬如一个工程上的方程如何有效率的求出它的解，如何优化一个实际的生产过程，如何设计一个可行的算法来解决一个具体的问题等。研究是否有价值在于结果能不能更好的解决问题，以及解决的效率是否合乎成本效益，至于里面有多少新的数学思想，就相对不重要了。换句话说，应用数学有点类似纯数学的反例，应用数学的发展是以科学为依据，是作为科学研究的后盾。

应用数学的次领域包括了数学物理、数值分析、优化、概率论、统计学、生物统计学、计量金融、赛局理论、生物数学、运筹学、控制论等。数值分析是指用计算机求解数学计算问题的计算方法及其理论的学科，通常是设计及分析一些计算的方式，可针对一些问题得到近似但够精确的结果。

赛局理论﹙game theory﹚，或称博弈理论，是社会科学研究的一种工具，也是经济学的一个分支，是一个在竞合关系的环境中，如何寻求自己最大利益与胜算的理论，被广泛运用在生物学、国际关系、军事战略，及经济学中。电影"美丽心灵"男主角原型，前普林斯顿大学数学系教授约翰·纳什就是在博弈论做出重大贡献而扬名国际，也因此获得1994年诺贝尔经济学奖。

现代管理学中的运筹学﹙operations research﹚也是一门应用数学学科。运筹学利用数学手法和模型等，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答，特别是改善或优化现有系统的效率，譬如工厂生产规划、人员排班、原材料供应链规划、车辆路线最优化等。控制理论是工程学与数学的跨领域分支，是自动化、机械跟电气工程等专业的骨干课程，主要处理有输入信号的动力系统行为。

数学专业一般的主干课程包括微积分、线性代数、分析、微分方程、几何学、复数分析、离散数学、数论、概率、拓扑学等。线性代数既是纯数学也是应用数学的核心，因为以运算角度来看，线性代数将一群相关数值结合成一个单位来处理，这个成群的相关数值称为向量或矩阵，所以矩阵和向量为其主要研究对象。复变分析是研究复变函数，也就是像z=a+bi﹙a、b均为实数，其中a为实部，b为虚部，i为虚数﹚的函数，应用在流体力学、热力学，和电动力学等领域。离散数学是研究基于离散空间而不是连续的数学结构，是计算机专业的主干课程之一，也是包括数据结构、算法、数据库理论，和操作系统等的数学基础，可以说计算机科学的数学语言就是离散数学。

美国数学硕士专业分支

基础数学常见的研究方向包括：

◆ 代数学algebra

◆ 分析学analysis

◆ 拓扑学topology

◆ 几何学 geometry

◆ 数论number theory

◆ 逻辑学logic

◆ 微分方程理论ifferential equation theory

◆ 偏微分方程partial ifferential equation

◆ 应用数学

包括：

◆ 运筹学和优化理论operations research /optimization

◆ 微分方程和动力系统ifferential equations an ynamical systems

◆ 随机系统和控制理论stochastic control theory/stochastic systems theory

◆ 精算和金融数学actuarial/financial mathematics

◆ 数学物理mathematical physics

◆ 生物数学math biology

◆ 科学计算scientific computing

◆ 概率论和统计probability an statistics

在美国部分学校内，不会单独设立数学硕士项目，研究生录取以博士招生为主。硕士阶段学生需要修读30-36个学分（约8-10门课程），可以选择以论文的形式或者非论文的形式毕业，学习时间1.5-2年的时间；而博士阶段需要修读72个学分，除了课程以外学生还需要参加课程考试、口语考试、论文答辩等阶段，时间为4-7年的时间。

如果想申请美国数学方向的研究生，本科至少要修读过高级微积分、线性代数、复杂变量、偏微积分和常微积分方程、概率论等相关课程，申请博士的话，很多学校会要求学生提交gre-sub数学专项考试成绩。另外，软件背景方面，学生需要在实习和科研背景方面认真准备一下，如果能在sci等高端学术期刊上发表论文，会对申请有很大帮助。

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