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计算机代数方向解析

庞煜

2021-03-03 23:30:29

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计算机代数
计算机代数通过计算机程序解决数学问题。这些程序用公式而不是数字来回答用户的问题。在定量领域（例如工程，金融和物理学）中，这通常是更可取的，在这些领域中，人们希望了解事物的本质，而不是简单地计算值。计算机代数技术已被应用到诸如高中数学作业之类的简单问题，对优化汽车悬架组件的实用化，以及对宇宙的大规模结构进行建模的基础性问题。计算机代数的核心是操纵符号数学表达式的数学算法和软件系统的发明。
我们的研究小组由计算机科学家和应用数学家组成，在计算机代数的多个领域进行研究。下面按字母顺序列出了主要由我们计算机科学系的教员（marc moreno maza，eric schost和stephen m. watt）领导的领域。
用矩阵和多项式进行计算的算法，
用于编码理论，密码计算的计算机代数，
高效的算法及其实现，
数学知识管理
并行计算，分层存储器，
用于数学计算的编程语言，
方程系统的软件求解器。
我们开发的算法都集成在领先的数学软件包maple和开源软件（例如alor）中。
我们的团队获得了多个著名奖项的认可，其中包括加拿大研究主席授予的主席，mitacs优秀指导和技术转让中的最佳数学奖，新技术开发的canarie iway奖，安大略省总理的卓越研究奖和多个最佳论文/海报奖。我们的研究得到了联邦和省级机构和网络（例如cfi，mitacs，nserc和orcf）以及工业合作伙伴（例如maplesoft，microsoft和sharcnet）的资助。
矩阵和多项式的计算算法
用数学表达式进行计算的实践和理论核心是处理矩阵和多项式。这些提供了丰富而又有用的深层属性，这些属性允许使用令人惊讶且高效的算法。因此，矩阵和多项式用于表示计算机代数系统中的更通用的数学对象。从纯数学家的角度来看，矩阵和多项式是众所周知的对象。但是，从它们在计算机上的实现以来，出现了非标准的研究主题（对非整数域的快速算术，具有符号指数的多项式），这是最高效的计算机代数软件的核心。
高效算法及其实现
用于符号计算的渐近快速方法已经有四十多年了。不幸的是，由于人们认为它们在实践中是无关紧要的，因此它们对计算机代数系统的影响已减小。最近的进展表明，仔细的编程和精确的实验可以导致这些方法的成功实施，从而可以克服有效计算的大小。我们的研究小组不仅为符号计算（从基本运算到多项式系统的求解）提供了新的复杂度结果，还为maple随附了高效的软件（例如mopn库）。
并行计算，分层存储器
并行硬件体系结构（多处理器，多核，图形处理单元等）和计算机内存层次结构（从处理器寄存器到通过连续高速缓存的硬盘到硬盘）强制了数学软件工具的根本发展。实际上，尽管在这些工具中实现的算法具有利用这些硬件资源的巨大潜力，但是大多数这些软件工具，尤其是当今的计算机代数系统，都无法利用现代硬件加速技术。
结合目标硬件感兴趣的不同复杂度度量（缓存复杂度，并行度等），我们的研究小组旨在为计算机代数所依赖的基本运算（多项式和矩阵算术，代数表达式操纵，等等。）